Question

已知F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF₁F₂的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有
（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．4

Answer 1

【答案】分析：设△MF₁F₂的内切圆的半径等于r，根据2πr=3π，求得 r 的值，由椭圆的定义可得  MF₁ +MF₂=2a，故△MF₁F₂的面积等于  （ MF₁ +MF₂+2c ）r=8r，又△MF₁F₂的面积等于  2c y_M=12，求出y_M的值，可得答案．
解答：解：设△MF₁F₂的内切圆的内切圆的半径等于r，则由题意可得 2πr=3π，∴r=．
由椭圆的定义可得  MF₁ +MF₂=2a=10，又 2c=6，
∴△MF₁F₂的面积等于  （ MF₁ +MF₂+2c ）r=8r=12．
又△MF₁F₂的面积等于  2c y_M=12，∴y_M=4，故 M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，
故选  C．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出 y_M=4，是解题的关键．