Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+2的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（　　）

A．

a≠0，c=0

B．

b=0

C．

a=0，c≠0

D．

a2+c2=0

Answer 1

考点：

导数的运算；函数奇偶性的判断．

专题：

导数的综合应用．

分析：

先求导数f′（x），由f′（x）为奇函数可知f'（x）=﹣f'（﹣x），故3ax²+c恒成立恒成立，所以a=c=0，由此得出答案．

解答：

解：函数f（x）=ax³+bx²+cx+2的导函数为f′（x）=3ax²+2bx+c，

∵函数f′（x）=3ax²+2bx+c是定义在R上的奇函数，

∴f'（x）=﹣f'（﹣x），即3ax²+2bx+c=﹣3ax²+2bx﹣+c，

∴3ax²+c恒成立，a=c=0．即a²+c²=0．

故选D．

点评：

本题考查导数的运算、函数奇偶性的判断、函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．