题目内容

已知函数 $数学公式$ （b、c为常数），f（x）在x=1处和x=3处取得极值．
（Ι）　求f（x）的解析式；
（ΙΙ）求f（x）的单调区间．

解：（Ι）∵函数 $\text{[math]}$ （b、c为常数），∴f′（x）=x²+（b-1）x+c．
再由f（x）在x=1处和x=3处取得极值可得，1和3是方程 x²+（b-1）x+c=0的两个根．
∴1+3=b-1，1×3=c，解得 b=5，c=3．
故f（x）= $\text{[math]}$ ，f′（x）=x²+4x+3．
（ΙΙ）令f′（x）=x²+4x+3＜0，解得-3＜x＜-1，故减区间为（-3，-1）．
再令f′（x）=x²+4x+3＞0，解得 x＞-1，或 x＜-3，故增区间为（-∞，-3）、（-1，+∞）．
分析：（Ι）先求出 f′（x）=x²+（b-1）x+c，再根据f（x）在x=1处和x=3处取得极值可得，1和3是方程 x²+（b-1）x+c=0的两个根，再利用根与系数的关系求出 b=5，c=3，
从而求出f（x）的解析式．
（ΙΙ）令f′（x）=x²+4x+3＜0，解得-3＜x＜-1，故减区间为（-3，-1）．同理，令f′（x）＞0，求出x的范围，即得增区间．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，求函数的解析式，属于中档题．