Question

16．已知△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，cosA+cosC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（A-C）=0．
（1）求A，C；
（2）若BC=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）运用三角形内角和定理，可得A+C，再由和差化简公式和二倍角正弦公式，化简整理，注意A，C的范围，即可求得A，C．
（2）利用正弦定理可求AB，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，则A+C=$\frac{2π}{3}$，
由cosA+cosC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（A-C）=0，
则2cos$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2sin$\frac{A-C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=0，
即有2cos$\frac{A-C}{2}$（cos$\frac{A+C}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$）=0，
即cos$\frac{A-C}{2}$=0或cos$\frac{A+C}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$=0，
则$\frac{A-C}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，由于A，C均介于（0，$\frac{2π}{3}$），
则舍去；
由cos$\frac{A+C}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$=0即为sin$\frac{A-C}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由A，C均介于（0，$\frac{2π}{3}$），$\frac{A-C}{2}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）．
则$\frac{A-C}{2}$=-$\frac{π}{4}$，
即A-C=-$\frac{π}{2}$，又A+C=$\frac{2π}{3}$，
解得，A=$\frac{π}{12}$，C=$\frac{7π}{12}$．
（2）∵BC=2，
∴由正弦定理可得：AB=$\frac{BCsinC}{sinA}$，可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×\frac{2×sin\frac{7π}{12}}{sin\frac{π}{12}}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的求值，考查和差化积公式和二倍角的正弦公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．