Question

已知函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…anxn(n∈N*)，且y＝f(x)的图象经过点(1，n2)，数列{an}(n∈N*)为等差数列． (1) 求数列{an}的通项公式 (2) 求n为奇函数时，设g(x)＝[f(x)－f(－x)]，是否存在自然数m和M，使不等式m＜g()＜M恒成立，若存在，求出M－m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	据题意：f(1)＝n2即a0＋a1＋a2＋……＋an＝n2 令n＝1则a0＋a1＝1，a1＝1－a0 令n＝2则a0＋a1＋a2＝22，a2＝4－(a0＋a1)＝4－1＝3 令n＝3则a0＋a1＋a2＋a3＝32，a2＝9－(a0＋a1＋a2)＝9－4＝5 ∵{an}为等差数列， ∴d＝a3－a2＝5－3＝2，a1＝3－2＝1，an＝0，an＝1＋(n－1)·2＝2n－1
(2)	由(1)f(x)＝a1x1＋a2x2＋a3x3＋…an－1xn－1－anxn n为奇数时，f(－x)＝－a1x1＋a2x2－a3x3＋…an－1xn－1－anxn g(x)＝［f(x)－f(－x)］＝a1x1＋a3x3＋a5x5＋…＋an－2xn－2＋anxn g()＝1·＋5·()3＋9·()5＋…＋(2n－5)()n－2＋(2n－1)()n g()＝1·()3＋5·()5＋9·()7＋…＋(2n－5)()n＋(2n－1)() 相减是g()＝1·＋4［()3＋()5＋…＋()n］－(2n－1)()n+2 ∴g()＝ 令Cn＝n()n ∵Cn－1－Cn＝·()n·≤0，n∈N+ ∴Cn－1≤Cn，Cn随n增大而减小 又·()n随n增大而减小 ∴g()为n的增函数，当n＝1时，g()＝ 而∴g()＜ ∴使m＜g()＜M恒成立的自然m的最大值为0，M最小值为2． M－m的最小值为2．