Question

【题目】编辑如下运算程序：，，．

（1）设数列{}的各项满足，求；

（2）由（1）猜想{}的通项公式；

（3）用数学归纳法证明你的猜想。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析。

【解析】

试题分析：（1）根据题意：，，，所以可以得到，令，于是得到：，再令，得到，再令，得到，所以根据可以得到：，，，；（2）由（1）得到的，，，，…，于是可以猜想得到数列的通项公式为；（3）当n=1时，，命题成立，假设当n=k（k≥1）时命题成立，即，那么需要验证当n=k+1时，命题也成立，

，所以当n=k+1时，命题也成立，则对一切命题都成立。所以问题得证。

试题解析：（1），令，则；由，，得

再令，则，得

再令，则，得

（2）由（1）猜想：

（3）证明：①当时，，另一方面，，所以当时等式成立．

②假设当时，等式成立，即，此时，

那么，当时

所以当时等式也成立．

由①②知，等式对都成立，猜想正确，即．