题目内容

已知函数f（x）=cos $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若f（x）=1，求cos（ $数学公式$ ）的值．

解：（1）函数f（x）=cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，---（3分）
所以函数f（x）的最小正周期为T=2π．-------（4分）
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得2kπ- $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
故函数y=f（x）的单调递增区间为[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．-----------（6分）
（2）函数f（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =1，即 sin（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，--------（7分）
故 cos（ $\text{[math]}$ ）=cos2（ $\text{[math]}$ ）═2cos²（ $\text{[math]}$ ）-1=2 $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由此可得函数的最小正周期，再令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得x的范围，即可求得单调递增区间．
（2）由函数f（x）=1求得sin（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再由cos（ $\text{[math]}$ ）=cos2（ $\text{[math]}$ ）利用二倍角公式、诱导公式求得结果．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、诱导公式的应用，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．