Question

已知等差数列{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，且a₅≥10，S₁₅＜255．
（1）求通项a_n；
（2）若数列a₁，a₃，，，，…，…，成等比数列，试找出所有的n∈N^*，使为正整数，说明你的理由．

Answer 1

解：（1）因为 a₅≥10，S₁₅＜255，设{a_n}的公差为d，则有 ． …（2分）
化简可得 ，∴2d＜5．
再由{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，∴d=2，…（3分）
∴a₁=2…（4分）
故．…（5分）
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，
∴公比，…（6分）
∴，…（8分）
∴2•3ⁿ⁺¹=2b_n，，故=．…（9分）
此时当n=1，3，5时符合要求；当n=2，4时不符合要求．
由此可猜想：当且仅当n=2k-1，k∈N^*时，C_n为正整数．证明如下：…（10分）
逆用等比数列的前n项和公式有：．…（11分）
当n=2k，k∈N^*时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时…（12分）
当n=2k-1，k∈N^*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时
故满足要求的所有n为n=2k-1，k∈N^*．…（13分）
分析：（1）由条件可得2d＜5，再由{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，故有d=2，结合条件得a₁=2，由此求得通项a_n ．
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，由此求出公比的值，求得 ，故=，当n=
2k-1，k∈N^*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时．当n=2k，k∈N^*时，经检验不符合条件．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于中档题．