Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AFC；
（2）求证：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

Answer 1

证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，
则点O是BD的中点．
∵点F为A₁D的中点，∴A₁B∥FO．
又A₁B∉平面AFC，FO?平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC．

（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接B₁D．∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，AC⊥B₁D．
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF?平面A₁ADD₁，
∴CD⊥AF．又∵AF⊥A₁D，
∴AF⊥平面A₁B₁CD．
∵AC⊥B₁D，∴B₁D⊥平面AFC．
而B₁D?平面A₁B₁CD，
∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC．
分析：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A₁B∥平面AFC，只需证明直线A₁B平行平面AFC内的直线FO即可；
（2）要证平面A₁B₁CD⊥平面AFC，只需证明平面A₁B₁CD内的直线B₁D垂直平面AFC即可．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，是中档题．