题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c若2acosB=c，则- $数学公式$ 的取值范围是　

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：利用余弦定理表示出cosB，代入已知的等式化简，可得出a=b，根据等边对等角可得A=B，然后把所求式子的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，将其中的A换为B，提取 $\text{[math]}$ ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由2acosB=c分离出cosB，根据a与c都大于0，可得出cosB大于0，再由B为三角形的内角，得出B的范围，进而得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，即可得到所求式子的取值范围．
解答：由余弦定理得：cosB= $\text{[math]}$ ，
代入2acosB=c得：a²+c²-b²=c²，即a²=b²，
可得：a=b，即A=B，
则 $\text{[math]}$ =cosA+sinB=sinB+cosB= $\text{[math]}$ sin（B+ $\text{[math]}$ ），
∵2acosB=c，即cosB= $\text{[math]}$ ＞0，
∴B∈（0， $\text{[math]}$ ），
∴B+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（B+ $\text{[math]}$ ）≤1，即1＜sin（B+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，
则- $\text{[math]}$ 的取值范围是（1， $\text{[math]}$ ]．
故选C
点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，余弦函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．