Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

（x∈R，ω＞0）
（1）求f（x）的值域；
（2）若f（x₁）=f（x₂）=0，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，求f（x）的递增区间．

Answer 1

分析：（1）直接展开函数的表达式，通过二倍角与两角差的正弦函数化简函数的表达式，然后求出函数的值域．
（2）通过f（x₁）=f（x₂）=0，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，求出函数的周期得到ω，求出解析式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间即可．

解答：解：（1）f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

=2sinωxcos

π

6

-2cos²

ωx

2

=

3

sinωx-cosωx-1=2sin（ωx-

π

6

）-1
∴f（x）的值域为[-3，1]．
（2）由f（x₁）=f（x₂）=0且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

得

T

2

=

π

2

，∴T=π，则ω=2
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

 k∈Z．
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]k∈Z．

点评：本题考查二倍角公式的应用，三角函数的恒等变换，函数的基本性质，考查计算能力．