题目内容

数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：a₁+a₂+…+a_n= $数学公式$ ；
（Ⅲ）求证： $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（2分）
（Ⅱ）证明：由 $\text{[math]}$ 知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（1）
所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ． …（5分）
从而 a₁+a₂+…+a_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（7分）
（Ⅲ）证明： $\text{[math]}$ 等价于
证明 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．（2）…（8分）
当n=1时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
即n=1时，（2）成立．
设n=k（k≥1）时，（2）成立，即 $\text{[math]}$ ．
当n=k+1时，由（1）知 $\text{[math]}$ ； …（11分）
又由（1）及 $\text{[math]}$ 知 $\text{[math]}$ 均为整数，
从而由 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
即（2）对n=k+1也成立．
所以（2）对n≥1的正整数都成立，
即 $\text{[math]}$ 对n≥1的正整数都成立． …（13分）
注：不同解法请教师参照评标酌情给分．
分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ ，分别代入，即可求得a₂，a₃；
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 知 $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ ，代入即可得出结论；
（Ⅲ）证明 $\text{[math]}$ 等价于证明 $\text{[math]}$ ，
即证 $\text{[math]}$ ，再利用数学归纳法进行证明．
点评：本题考查数列递推式，考查数列与不等式，考查数学归纳法，正确运用数列递推式，及数学归纳法的证题步骤是解题的关键．

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（2011•西城区二模）数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0．
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．（写出所有正确命题的序号）

已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x₁，x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，数列{a_n}满足a₁=0，且对任意n∈N^*，a_n=f（n），则f（2010）=（　　）

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．
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(n∈N*)；
（1）求{a_n}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式

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