Question

已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C₁C=CA=CB=2，点D为棱CC₁的中点，点E在棱B₁C₁上运动．
（I）求证A₁C⊥AE；
（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值为

6

6

，求

C1E

C1B1

；
（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A₁DB？并求出EF的长度．

Answer 1

分析：（I）以CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），要证A₁C⊥AE，可证

A1C

⊥

AE

，只需证明

A1C

•

AE

=0，利用向量的数量积运算即可证明；
（II）分别求出平面EA₁D、平面A₁DB的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于

6

6

，解得m值，由此可得答案；
（III）在（II）的条件下，设F（x，y，0），可知

EF

与平面A₁DB的一个法向量平行，由此可求出点F坐标，进而求出|

EF

|，即得答案；

解答：解：（I）以CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），
C（0，0，0），A（0，2，0），A₁（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），

A1C

=（0，-2，-2），

AE

=（m，-2，2），
因为

A1C

•

AE

=0+（-2）×（-2）-2×2=0，
所以

A1C

⊥

AE

，即A₁C⊥AE；
（II）

DE

=（m，0，1），

DA1

=（0，2，1），
设

n

=（x，y，z）为平面EA₁D的一个法向量，
则

n • DE =0 n • DA1 =0

，即

mx+z=0 2y+z=0

，取

n

=（2，m，-2m），

DB

=（2，0，-1），设

n

=（x，y，z）为平面A₁DB的一个法向量，
则

n • DB =0 n • DA1 =0

，即

2x-z=0 2y+z=0

，取

n

=（1，-1，2），
由二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值为

6

6

，得|

2-m-4m

4+m2+4m2 • 6

|=

6

6

，解得m=1，
所以

C1E

C1B1

=

1

2

；
（III）由（II）知E（1，0，2），且

n

=（1，-1，2）为平面A₁DB的一个法向量，
设F（x，y，0），则

EF

=（x-1，y，-2），且

EF

∥

n

，所以x-1=-1，y=1，解得x=0，y=1，
所以

EF

=（-1，1，-2），|

EF

|=

(-1)2+12+(-2)2

=

6

，
故EF的长度为

6

，此时点F（0，1，0）．

点评：本题考查重点考查直线与平面垂直的性质、二面角的平面角及其求法、空间点、线、面间距离计算，考查学生空间想象能力、推理论证能力．