Question

已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R）．
（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数f′（x），根据x=2是f′（x）一个极值点，利用f′（2）=0，可得a=4，再检验当a=4时，x=2是f（x）的极小值点符合题意；
（2）讨论导数的零点，可得当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为(

a

，+∞），单调递减区间为(0，

a

)．

解答：解：（1f′(x)=x-

a

x

，∵x=2是一个极值点，
∴2-

a

2

=0，∴a=4．
此时f′(x)=x-

4

x

=

x2-4

x

=

(x-2)(x+2)

x

．
∵f（x）的定义域是{x|x＞0}，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴当a=4时，x=2是f（x）的极小值点，∴a=4．（6分）
（2）∵f′(x)=x-

a

x

，∴当a≤0时，
f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

，
令f′（x）＞0有x＞

a

，∴函数f（x）的单调递增区间为(

a

，+∞）；
令f′（x）＜0有0＜x＜

a

，
∴函数f（x）的单调递减区间为(0，

a

)．（12分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和函数在某点取得极值的条件，属于中档题．做题时注意分类讨论思想的运用，以及取极值时的检验．