Question

椭圆

x2

12

+

y2

b2

=1(0＜b＜2

3

)与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F₁，F₂，P为它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=90°，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  6

  6

• B、

  21

  6

• C、

  30

  6

• D、

  15

  6

Answer 1

分析：由渐近线为x±2y=0，得出双曲线中的实轴长与半焦距的关系a²=

4c2

5

，再结合椭圆和双曲线的定义，列出关于PF₁，PF₂，F₁F₂的关系式，解出c的值，代入离心率公式计算．

解答：解：设F₁F₂=2c，在双曲线中，

b

a

=

1

2

，a²+b²=c²，得a²=

4c2

5

．不妨设p在第一象限，则由椭圆的定义得PF₁+PF₂=4

3

，由双曲线的定义得PF₁-PF₂=2a=

4

5

c又∠F₁PF₂=90°∴PF₁²+PF₂²=4c²∴48+

16

5

c2=8c²，解c=

10

，∴e=

c

a

=

10

2 3

=

30

6

．
故选C

点评：本题是椭圆和双曲线结合的好题．要充分认识到PF₁，PF₂，F₁F₂在两曲线中的沟通作用．