Question

已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d。方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围。

Answer 1

解：（1）设是的根，那么，
则是的根，
则即，
所以。
（2）因为
所以
则=0的根也是的根
（a）若，则
此时的根为0，而的根也是0，
所以；
（b）若，则时，的根为0，而的根也是0，
当时，的根为0和，
而的根不可能为0和，
所以必无实数根，
所以
所以，
从而
所以当时，；
当时，。
（3），所以
即的根为0和1，
所以=0必无实数根，
（a）当时，
即函数在，恒成立
又
所以
即
所以；
（b）当时，
即函数在，恒成立
又
所以，，而
所以
所以c不可能小于0。
（c）则这时的根为一切实数，而，
所以符合要求。
所以。