Question

已知α， β∈(0， 

π

2

)，  且sinβ=2cos(α+β)sinα，若tan（α+β）=3，则tanα=

1

．．

Answer 1

分析：把已知等式的左边中的角β变为α+β-α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项整理后，在等式左右两边同时除以cos（α+β）cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan（α+β）的值代入即可求出tanα的值．

解答：解：∵α，β∈（0，

π

2

），
∴sinβ=sin（α+β-α）=2cos（α+β）sinα，
即sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=2cos（α+β）sinα
移项得：sin（α+β）cosα=3cos（α+β）sinα
两边同时除以cos（α+β）cosα得：tan（α+β）=3tanα，
∵tan（α+β）=3，
∴tanα=1．
故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系，灵活变换角度是解本题的关键．