Question

在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g（x）=

a2+1

的图象所围成的封闭图形的面积是

2π

a

a2+1

．

．

Answer 1

分析：首先由三角函数的知识把函数化简为y=Asin（wx+Φ）的形式．解法一：由图象的对称性，把要求的面积转化为长为

2π

a

，宽为2

a2+1

的矩形面积的一半来解决；解法二，用定积分的意义转化为定积分

∫

φ1 φ2

a2+1

[1-sin（ax+?）]dx来求解．

解答：解法一：由三角函数公式可得f（x）=asinax+cosax=

a2+1

sin（ax+?），其中tan?=

1

a

，
所以函数的周期为T=

2π

a

，取长为

2π

a

，宽为2

a2+1

的矩形，
由对称性知，面积的一半即为所求．
故答案为：

2π

a

a2+1

．
解法二：由定积分的意义知，封闭图形的面积为

∫

φ1 φ2

a2+1

[1-sin（ax+?）]dx
换元，令ax+?=t，则x=

1

a

（t-?），上式可化为：

a2+1

a

∫

π 2 0

（1-sint）dt=

2π

a

a2+1

故答案为：

2π

a

a2+1

．

点评：本题考查曲边图形的面积，用定积分的定义或图象的对称性可解，属基础题．