Question

设A、B是双曲线上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．

(1)求直线AB的方程；

(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?

Answer 1

答案：略
解析：

(1)依题意，可设直线AB的方程为y=k(x－1)＋2，代入，整理得．　　　　　　　　　　　　① 设，，则是方程①的两个不同的根，所以，且． 由N(1，2)是AB的中点得． ∴． 解得k=1，所以直线AB的方程为y=x＋1． (2)将k=1代入方程①得． 解出． 由y=x＋1得，即A、B的坐标分别为(－1，0)和(3，4)． 由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为 y=－(x－1)＋2，即y=3－x， 代入双曲线方程，整理得．　　　　　　　　　　　② 记，CD的中点为，则是方程②的两个根，所以，．从而，． ∴ 又 即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆．