Question

已知函数f(x)=

(1+sinx+cosx)(sin x 2 -cos x 2 )

2+2cosx

．
（I）当180°＜x＜360°时，化简函数f（x）的表达式；
（II）写出函数f（x）的一条对称轴．

Answer 1

分析：（I）把函数解析式的分子第一个因式中的一三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，化简后第一个因式提取2cos

x

2

，剩下的式子利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简；分母被开方数提取2后，利用二倍角的余弦函数公式化简，再根据

a2

=|a|进行变形，由x的范围求出

x

2

的范围，根据绝对值的代数意义进行化简，最后分子分母约分后即可最简的函数f（x）的解析式；
（II）由第一问得到化简后的函数解析式发现为一个余弦函数，其对称轴为x=2kπ，k∈Z，故取一个整数Z可得一条对称轴，比如Z=0，可得对称轴为x=0，答案不唯一．

解答：（本小题满分8分）
解：（I）f(x)=

(2cos2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 )(sin x 2 -cos x 2 )

4cos2 x 2

=

cos x 2 (sin2 x 2 -cos2 x 2 )

|cos x 2 |

，（4分）
因为180°＜x＜360°，90°＜

x

2

＜180°，cos

x

2

＜0，（5分）
所以f(x)=

-cos x 2 cosx

|cos x 2 |

=

-cos x 2 cosx

-cos x 2

=cosx；（6分）

（II）函数f（x）=cosx的一条对称轴是x=0．（答案不唯一，满足x=2kπ，k∈Z）（8分）

点评：此题考查了三角函数的化简求值，以及余弦函数的对称性，涉及的知识有二倍角的正弦、余弦函数公式，二倍根式的化简公式，以及余弦函数的对称轴，学生化简函数解析式时注意运用x的范围确定

x

2

的范围，进而化简绝对值，熟练掌握公式是第一问化简函数解析式的关键．