Question

已知函数g（x）=

1

2

（x+

2

x

）．
（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数g（x）在区间[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）求出定义域；求出g（-x），判断g（-x），g（x）的关系；利用奇函数的定义判断出g（x）为奇函数．
（II）求出g（x）的导函数，求出导函数的根，判断根左右两边的导函数符号，求出函数的最值．

解答：解：（I）函数的定义域为x≠0
g（-x）=

1

2

(-x-

2

x

)=-

1

2

(x+

2

x

)=-g(x)
所以g（x）是奇函数
（II）g′(x)=

1

2

x2-2

x2

令g′（x）=0得x=

2

x∈(1，

2

)时，g′(x)＜0；x∈(

2

，4)时，g′（x）＞0
∴x=

2

时，函数有最小值

2

当x=1时，g（1）=

3

2

；x=4时，g（4）=

9

4

＞

3

2

∴函数g（x）在区间[1，4]上的最大值为

9

4

和最小值为

2

．

点评：本题考查判断函数奇偶性的步骤、考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值．