题目内容
设a、b、c≥0，且a+b+c=3，求证：a2+b2+c2+
abc≥
.
思路分析：先运用对称性确定符号，设a≤b≤c，则a≤1＜，再使用基本不等式可以避开讨论，作差比较作适当放缩.
证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1＜.∴a-
＜0.
又∵(
)2≥bc，即(
)2≥bc，也即
bc(a-
)≥
(3-a)2(a-
).
∴左边=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+
abc
=9
bc(a-
)≥9
(3-a)2(a-
)
=9+
(3-a)［(3-a)(a-
)-
a］=9-
(3-a)［a2+a+4］
=9-
(-a3+
+
a(a2
+
a(a-1)2≥
,
∴a2+b2+c2+
abc≥
.
练习册系列答案
相关题目
[选做题]