题目内容

点P为直线 $数学公式$ 上任意一点，点A（0，0），B（3，0），则∠APB的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：设经过A、B两点的圆为圆M，且圆M直线 $\text{[math]}$ 相切于点P₀，根据平面几何知识可得：当动点P与点P₀重合时，∠APB的最大．然后设出圆M方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用点A（0，0）和B（3，0）在圆M上，解出D=-3且F=0，再利用圆心到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于半径解出E的值，从而得到圆M的方程．最后联解直线 $\text{[math]}$ 与圆M的方程，得到切点P₀坐标为（0， $\text{[math]}$ ），在Rt△P₀AB中利用正切定义求出最大角为 $\text{[math]}$ ．
解答：如图，作出经过A、B两点的圆M，且圆M直线 $\text{[math]}$ 相切于点P₀，

动在直线 $\text{[math]}$ 上运动，则点P与点P₀重合时，∠APB的最大．
证明如下：当点P位于圆M外时，设PB交圆M于点C，
连接AC，则∠AP₀B=∠ACB＞∠APB，所以∠AP₀B是∠APB的最大值．
设圆M方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，据题意得：
$\text{[math]}$ ?D=-3且F=0
∴圆M方程为：x²+y²-3x+Ey=0，圆心M（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），半径为 $\text{[math]}$
∵圆M直线 $\text{[math]}$ 相切，即与直线 $\text{[math]}$ 相切，
∴ $\text{[math]}$ ?E=- $\text{[math]}$ ，
所以，圆M方程为：x²+y²-3x- $\text{[math]}$ y=0，再由
$\text{[math]}$ 联解，得 $\text{[math]}$ ，所以点P₀坐标为（0， $\text{[math]}$ ）．
此时，在Rt△P₀AB中有tan∠AP₀B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴∠AP₀B= $\text{[math]}$ ，即∠APB的最大值为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题借助于一个动点到两个定点的张角的最大值的问题为载体，着重考查了直线与圆的位置关系和三角函数的基本概念等知识点，属于中档题．