Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=a，AC=2a，
（1）求多面体B₁-AA₁C₁C的体积；
（2）求异面直线AB₁与CC₁所成角的大小．

Answer 1

解：（1）由图可知，，
由条件得B₁B⊥平面ABC，
∴，，
因此 ．
（2）由条件得四边形CBB₁C₁为正方形，∴BB₁ ∥C₁C，
∴∠AB₁B 为异面直线AB₁与CC₁所成角．
Rt△AB₁B 中，BB₁ =a，AB== a，
tan∠AB₁B===，∠AB₁B=arctan．
即异面直线AB₁与CC₁所成角为arctan．
分析：（1）由图可知 所求的四棱锥的体积等于原三棱柱的体积减去三棱锥B₁-ABC的体积，根据得B₁B⊥平面ABC，可得B₁B是三棱锥B₁-ABC的高，从而求出三棱锥B₁-ABC的体积．
（2）由条件得四边形CBB₁C₁为正方形，故 BB₁ ∥C₁C，∠AB₁B 为异面直线AB₁与CC₁所成角，Rt△AB₁B 中，由边角关系求出tan∠AB₁B 的值，从而求得∠AB₁B 的值．
点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，利用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．