Question

已知cos(α-

π

4

)=

12

13

，0＜α＜

π

4

，求

cos2α

cos( π 4 +α)

．

Answer 1

分析：利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到cosα+sinα的值，然后把得到关系式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形，可得出（cosα-sinα）²的值，由α的范围，得到cosα-sinα大于0，开方可得cosα-sinα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函数公式及平方差化简，将cosα+sinα及cosα-sinα的值代入求出分子的值，分母利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将cosα-sinα的值代入求出分母的值，进而求出所求式子的值．

解答：解：由cos（α-

π

4

）=

2

2

（cosα+sinα）=

12

13

，
得到cosα+sinα=

12 2

13

，
两边平方得：（cosα+sinα）²=

288

169

，
∴1+2cosαsinα=

288

169

，即2cosαsinα=

119

169

，
∴（cosα-sinα）²=1-2cosαsinα=

50

169

，
又0＜α＜

π

4

，∴cosα-sinα＞0，
∴cosα-sinα=

5 2

13

，
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=

120

169

，
cos（α+

π

4

）=

2

2

（cosα-sinα）=

5

13

，
则

cos2α

cos(α+ π 4 )

=

120

169

×

13

5

=

24

13

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．