Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ．（n≥2且n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，结合等差数列的通项公式可求

an

2n

，进而可求a_n
（2）由题意可得，Sn=

1

2

•21+

3

2

•22+

5

2

•23+…+(n-

1

2

)•2n，利用错位相减法可求和

解答：解：（1）∵an=2an-1+2n(n≥2，且n∈N*），
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1（n≥2，且n∈N*），
所以，数列{

an

2n

}是等差数列，公差d=1，首项

1

2

，
于是

an

2n

=

1

2

+(n-1)d=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

，
∴an=(n-

1

2

)•2n．
（2）∵Sn=

1

2

•21+

3

2

•22+

5

2

•23+…+(n-

1

2

)•2n①
∴2Sn=

1

2

•22+

3

2

•23+

5

2

•24+…+(n-

1

2

)•2n+1②
-Sn=1+22+23+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1
=2+22+23+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1-1
=2n+1-2-(n-

1

2

)•2n+1-1
=（3-2n）•2ⁿ-3
∴Sn=(2n-3)•2n+3

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，数列的错位相减求解数列的和方法的应用，属于数列知识的综合应用．