Question

（2011•渭南三模）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设bn=

3

2

×2an+

1

n(n+1)

，求数列{b_n}的前n项和T_n..

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和等差，根据等差数列的通项公式及前n项和的公式把已知条件a₃=5，S₁₅=225化简，得到关于首项和公差的两个关系式，联立两个关系式即可求出首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）现对{b_n}的通项变形可得，b_n=

3

2

×2^2n-1+（

1

n

-

1

n+1

），用分组求和法，可得T_n=

3

2

×（2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1）+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

），前一部分用等比数列的前n项和公式计算，后一部分用错位相减法，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
由题意，得

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，
解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）bn=

3

2

×2an+

1

n(n+1)

=

3

2

×2^2n-1+（

1

n

-

1

n+1

），
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

3

2

×（2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1）+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

3

2

（

2(1-2n)

1-2

）+（1-

1

n+1

）=3×2ⁿ-2，

点评：此题考查等差数列的通项公式及数列的求和，关键是灵活运用分组求和法求T_n的值．