题目内容

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：

①      ②M是与n无关的常数.

（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W

（2）设数列{bn}的通项为，求M的取值范围；

（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且

解：（1）设等差数列{an}的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，

解得a1=8，d=－2，

所以

由

=－1＜0

得适合条件①；又

所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②

综上，{Sn}∈W

（2）解：因为

所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；

当n=1，2时，，即b1＜b2＜b3，

因此数列{bn}中的最大项是b3=7 

所以M≥7

（3）解：假设存在正整数k，使得成立

由数列{cn}的各项均为正整数，可得

因为

由

因为

依次类推，可得

设

这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！

所以假设不成立，即对于任意n∈N*,都有成立

练习册系列答案
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设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①
an+an+22
≤an+1；②an≤M，其中n∈N*，M是与n无关的常数．
（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W
（2）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且{bn}∈W，求M的取值范围；
（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈W，证明：cn＜cn+1．
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，
an+an+22
≤an+1，恒成立；②对任意n∈N+，存在与n无关的常数M，使an≤M恒成立．
（Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=4，S3=18，试探究数列{Sn}与集合W之间的关系；
（Ⅱ）设数列{bn}的通项公式为bn=5n-2n，且{bn}∈W，求M的取值范围．
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①
an+an+22
≤an+1，②an≤M．其中n∈N+，M是与n无关的常数．
（1）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，证明：{bn}∈W；
（2）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a4=2，S4=20，证明：{Sn}∈W并求M的取值范围．
（2012•莆田模拟）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①
an+an+2
2
≤an+1；②an≤M，其中n∈N*，M是与n无关的常数．现给出下列的四个无穷数列：（1）an=2n-n2；（2）an=3n-2n；（3）an=2n；（4）an=3-(
1
3
)n，写出上述所有属于集合W的序号
（1）（4）
（1）（4）
．
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①
an+an+2
2
≤an+1②an≤M，其中n∈N*，M是与n无关的常数
（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，试探究{Sn}与集合W之间的关系；
（2）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且{bn}∈W，M的最小值为m，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设Cn=
1
5
[bn+(m-5)n]+
2
，求证：数列{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

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