Question

（2012•江苏二模）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=2，F是棱BC的中点，点E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ为实数）．
（1）当λ=

1

3

时，求直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（2）求证：直线EF不可能与直线EA垂直．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出

EF

=（1，3，-2），平面D₁AC的法向量

n

=(2，1，2)，利用向量的夹角公式，即可求得直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值；
（2）假设EF⊥EA，则

EF

•

EA

=0，由此可得方程，判断方程无解，即可得到结论．

解答：（1）解：建立如图所示的直角坐标系，

则A（2，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），E（0，

4λ

1+λ

，2），F（1，4，0），则

D1A

=(2，0，-2)，

D1C

=(0，4，-2)
当λ=

1

3

时，E（0，1，2），

EF

=（1，3，-2），设平面D₁AC的法向量为

n

=(x，y，z)，则
由

n • D1A =0 n • D1C =0

，可得

2x-2z=0 4y-2z=0

，所以可取

n

=(2，1，2)
∴cos＜

EF

，

n

＞=

EF • n

| EF || n |

=

2+3-4

14 ×3

=

14

42

∴直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值为

14

42

；
（2）证明：假设EF⊥EA，则

EF

•

EA

=0
∵

EA

=（2，-

4λ

1+λ

，-2），

EF

=（1，4-

4λ

1+λ

，-2），
∴2-

4λ

1+λ

（4-

4λ

1+λ

）+4=0
∴3λ²-2λ+3=0
∵该方程无解，∴假设不成立，即直线EF不可能与直线EA垂直．

点评：本题考查线面角，考查线线位置关系，解题的关键是建立空间直角坐标系，用向量方法解决立体几何问题．