Question

据市场分析，粤西某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．
（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系；
（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润；
（3）当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？

Answer 1

分析：（1）设出函数解析式，代入（10，20），可得函数解析式；
（2）列出函数解析式，利用配方法，可求最大利润；
（3）求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）由题意，设y=a（x-15）²+17.5（a∈R，a≠0）
将x=10，y=20代入上式得：20=25a+17.5，解得a=

1

10

，
∴y=

1

10

(x-15)2+17.5（10≤x≤25）
（2）设最大利润为Q（x），则Q(x)=1.6x-y=1.6x-(

1

10

x2-3x+40)=-

1

10

(x-23)2+12.9（10≤x≤25），因为x=23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
（3）

y

x

=

1 10 x2-3x+40

x

=

1

10

x+

40

x

-3≥2

x 10 • 40 x

-3=1
当且仅当

x

10

=

40

x

，即x=20∈[10，25]时上式“=”成立．
故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是关键．