Question

（2013•贵阳二模）已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2Sn+48

n

，数列{b_n}的最小项是第几项，并求出该项的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等差（等比）数列对应的前n项和、通项公式和性质，列出关于a₁和d方程，进行求解然后代入通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅱ）的结果求出S_n，代入b_n进行化简后，利用基本不等式求出最小项以及对应的项数．

解答：解：（I）设公差为d且d≠0，则有

7a1+21d=70 a22=a1a6

，即

a1+3d=10 (a1+d)2=a1(a1+5d)

，
解得

a1=1 d=3

或

a1=10 d=0

 （舍去），
∴a_n=3n-2．
（II）由（Ⅱ）得，sn=

n[1+(3n-2)]

2

=

3n2-n

2

，
∴b_n=

2Sn+48

n

=

3n2-n+48

n

=3n+

48

n

-1≥2

3×48

-1=23，
当且仅当3n=

48

n

，即n=4时取等号，
故数列{b_n}的最小项是第4项，该项的值为23．

点评：本题是数列与不等式结合的题目，考查了等差（等比）数列对应的前n项和、通项公式和性质等，注意利用基本不等式求最值时的三个条件的验证．