如图.已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为.以该椭圆上的点和椭圆的左.右焦点F1.F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点.设P为该双曲线上异于顶点的任一点.直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A.B和C.D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程, (2)设直线PF1.PF2的斜率分别为k1.k2.证明:k1·k2＝1, (3)是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，

2a＋2c＝4(＋1)，

所以a＝2，c＝2.

又a²＝b²＋c²，因此b＝2.

故椭圆的标准方程为＝1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，

所以m＝2，

因此双曲线的标准方程为＝1.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，

则k₁＝，k₂＝.

因为点P在双曲线x²－y²＝4上，

所以x－y＝4.

因此k₁·k₂＝·＝＝1，

即k₁·k₂＝1.

(3)由于PF₁的方程为y＝k₁(x＋2)，将其代入椭圆方程得

(2k＋1)x²－8kx＋8k－8＝0，

显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.

由韦达定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

所以|AB|＝

＝.

同理可得|CD|＝.

则，

又k₁·k₂＝1，

所以.

故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.

因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

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(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程：

(Ⅱ)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁·k²＝l；

(Ⅲ)是否存在常数，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在．求λ的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂.

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在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0.

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