Question

已知数列{a_n}的前项和为s_n，且满足sn=

sn-1

2sn-1+1

(n≥2)，a1=2．
（1）求证：{

1

sn

}是等差数列；
（2）求{a_n}的表达式．

Answer 1

分析：（1）由 sn=

sn-1

2sn-1+1

(n≥2)，a1=2，两边取倒数得

1

Sn

=

1

Sn-1

+2，即可证明．
（2）利用（1）即可得出S_n，再利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．

解答：解：（1）由 sn=

sn-1

2sn-1+1

(n≥2)，a1=2，两边取倒数得

1

Sn

=

1

Sn-1

+2，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
∴{

1

sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=

1

2

，2为公差的等差数列；
（2）由（1）可得：

1

Sn

=

1

2

+(n-1)×2=

4n-3

2

，∴Sn=

2

4n-3

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

4n-3

-

2

4(n-1)-3

=

-8

(4n-3)(4n-7)

．
∴an=

2，n=1 -8 (4n-3)(4n-7) ，n≥2

．

点评：本题考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、通过取倒数法转化为等差数列的方法等基础知识与基本方法，属于难题．