题目内容

求函数f（x）=在x∈[0，1]上的最大值和最小值．
【答案】分析：由于f（x）=++ 在[0，1]上是减函数，从而求得函数[0，1]上的最大值和最小值．
解答：解：由于f（x）=++ 在[0，1]上是减函数，
故当x=0时，函数取得最大值为f（0）=3；
当x=1时，函数取得最小值为f（1）=．
点评：本题主要考查指数函数的单调性的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x），f2（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．
设g（x）=2x+
1
x
，x∈[
1
4
，4]．
（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
（2）证明g（x）的最小值为g（
2
2
）；
（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，则f1（x）=-1，x∈[-
π
2
，
π
2
]，f2（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，设φ（x）=
g(x)+g(2x)
2
+
|g(x)-g(2x)|
2
，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．
（1）求函数f（x）=ex在x=0处的切线方程．
（2）x∈R，证明不等式ex≥x+1．
已知函数f（x）=2x2-（k2+k+1）x+15，g（x）=k2x-k，其中k∈R．
（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数q(x)=
g(x)x≥0
f(x)x＜0
是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）=q（x1）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．
（i） 求a的取值范围；
（ii） 设n为给定不小于4的正整数，当m＞n时，求证：
n
k=1
f(m)-f(k)
m-k
＜-
n
n+1
．

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