Question

在△ABC中，角A，B，C成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）若sin(A+B)=

2

2

，求sinA的值．

Answer 1

（1）在△ABC中，A+B+C=π，
由角A，B，C成等差数列，得2B=A+C．
解得B=

π

3

；
（2）方法1：由sin(A+B)=

2

2

，即sin(π-C)=

2

2

，得sinC=

2

2

，
所以C=

π

4

或C=

3π

4

，
由（1）知B=

π

3

，所以C=

π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法2：因为A，B是△ABC的内角，且sin(A+B)=

2

2

，
所以A+B=

π

4

或A+B=

3π

4

．
由（1）知B=

π

3

，
所以A+B=

3π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法3：由（1）知B=

π

3

，所以sin(A+

π

3

)=

2

2

，
即sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

2

2

，即

1

2

sinA+

3

2

cosA=

2

2

，

3

cosA=

2

-sinA，
3cos2A=2-2

2

sinA+sin2A，
又cos²A=1-sin²A，
所以3(1-sin2A)=2-2

2

sinA+sin2A．
即4sin2A-2

2

sinA-1=0，
解得：sinA=

2 ± 6

4

，
因为角A是△ABC的内角，所以sinA＞0，
故sinA=

2 + 6

4

．