Question

（2011•东城区模拟）已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a，且f(

π

6

)=4．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当-

π

4

≤x≤

π

3

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f(

π

6

)=4，利用函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a，可求a的值；
（Ⅱ）先利用辅助角公式将函数化简，可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，根据-

π

4

≤x≤

π

3

，可得-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，从而可求函数f（x）的值域

解答：解：（Ⅰ）由f(

π

6

)=4，可得2×(

3

2

)2+2

3

×

1

2

×

3

2

+a=4，---------（2分）
∴a=1．----------（4分）
（Ⅱ）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2．--------------（8分）
∵-

π

4

≤x≤

π

3

，∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，-------------（11分）
∴2-

3

≤f(x)≤4，
所以，函数f（x）的值域为[2-

3

，4]．---------（13分）

点评：本题以三角函数为载体，考查三角恒等变换，考查三角函数的值域，解题的关键是将函数化简，从而利用三角函数的图象求值域．