题目内容

已知向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ sinx，cosx）， $数学公式$ =（cosx，cosx）， $数学公式$ =（2 $数学公式$ ，1）．
（1）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值；　　
（2）若角 $数学公式$ ，求函数f（x）= $数学公式$ 的值域．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，∴tanx=2．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）∵角 $\text{[math]}$ ，函数f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[ $\text{[math]}$ ，1]，
∴f（x）∈[1， $\text{[math]}$ ]．
即f（x）的值域为[1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 求得tanx=2，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出 $\text{[math]}$ 的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f（x）= $\text{[math]}$ =sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，再由x的范围，求出f（x）的值域．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．