Question

已知函数f(x)=

ax2+bx

，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．
（1）求非零实数a的值；
（2）若函数g(x)=f(x)-

b

x

有零点，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．
（2）由（1）解出a=-4，函数g(x)=f(x)-

b

x

有零点，即

-4x2+bx

=

b

x

在D=[0，

b

4

]上有根，可以转化为4x⁴-bx³+b²=0在D=[0，

b

4

]上有根，下根据方程的根与函数零点的关系将方程有根的问题转化为研究函数h（x）=4x⁴-bx³+b²在D=[0，

b

4

]上存在零点的条件来求参数b的最小值．

解答：解：（1）若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为
D=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为D=[0，-

b

a

]．
由于此时[f(x)]max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，
故函数的值域A=[0，

b

2 -a

]．
由题意，有-

b

a

=

b

2 -a

，由于b＞0，所以a=-4．
（2）由f(x)-

b

x

=0，即

-4x2+bx

=

b

x

(0＜x≤

b

4

)，
得4x⁴-bx³+b²=0．
记h（x）=4x⁴-bx³+b²，
则h′（x）=16x³-3bx²，令h′（x）=0，x=

3b

16

∈(0，

b

4

]（10分）
易知h(x)在(0，

3b

16

]上递减；在[

3b

16

，

b

4

]上递增．
∴x=

3b

16

是h（x）的一个极小值点．（12分）
又h(

b

4

)=b2＞0，h(0)→b2＞0，∴由题意有：h(

3b

16

)≤0，（14分）
即4(

3b

16

)4-b(

3b

16

)3+b2≤0，∴b2≥

4

( 3 16 )3

，
故bmin=

128 3

9

．（16分）

点评：本题考点是函数零点判定定理，考查求函数的定义域、值域以及根据函数的定义域、值域求参数，本题出题方式有创新，再就是考查了用函数的图象变化特性求参数的最小值，由本题解题过程可以看出，函数零点的存在性问题常与函数图象的变化相结合，故此类综合题解题一般会且到导数这一工具．做题时做注意总结本题的解题规律，以推广到同类题的求解中去．