Question

（2012•临沂二模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆上且EF∥AB，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）当AD的长为何值时，二面角D-EF-B的大小为60°？

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明BE⊥平面ADE，利用面面垂直的判定，可得平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，则可得∠DMA为二面角D-FE-B的平面角，求出MA的长，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，DA⊥AB
∴DA⊥平面ABEF，
∵BE?平面ABEF，∴DA⊥BE
∵AB是圆O的直径，∴BE⊥AE
∵DA∩AE=A，∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM．

根据（Ⅰ）的证明，DA⊥平面ABEF，则DM⊥EF，
∴∠DMA为二面角D-FE-B的平面角，即∠DMA=60°．
过F作AB的垂线，交AB与点H
在Rt△AFH中，∵AH=

1

2

，AF=1，∴FH=

3

2

．
又∵四边形AMFH为矩形，∴MA=FH=

3

2

．
∵AD=MA•tan∠DMA=

3

2

•

3

=

3

2

．
因此，当AD的长为

3

2

时，二面角D-FE-B的大小为60°．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力