Question

已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）对称

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由圆方程可知圆心为，即，又因为离心率为，可得，根据椭圆中关系式，可求。椭圆方程即可求出。因为，则右顶点为，将其代入圆的方程可求半径。（Ⅱ）由椭圆方程可知，将代入椭圆方程可得。可得，设直线，然后和椭圆方程联立，消掉y（或x）得到关于x的一元二次方程。再根据韦达定理得出根与系数的关系。可得两直线的斜率。当直线是否关于直线对称时两直线倾斜角互补，所以斜率互为相反数。把求得的两直线斜率相加若为0，则说明两直线对称。否则不对称。

试题解析：（Ⅰ）由题意得,                       1分

由可得,                          2分

所以,                            3分

所以椭圆的方程为.                      4分

（Ⅱ）由题意可得点,                  6分

所以由题意可设直线,.            7分

设，

由得.

由题意可得,即且.        8分

.          9分

因为           10分

，           13分

所以直线关于直线对称.                   14分

考点：椭圆的基础知识、直线与椭圆的位置关系，考查分析问题、解决问题以及化归与转化的能力，考查综合素质。