Question

如图，三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，平面A₁AB⊥平面ABC，平面A₁AC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=3．
（Ⅰ） 求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ） 求异面直线AB₁与BC₁所成的角的余弦值；
（Ⅲ） 求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

分析：（I）由已知中平面A₁AC⊥平面ABC，∠BAC=90°，由面面垂直的性质可得CA⊥A₁A，及BA⊥A₁A，进而由线面垂直的判定定理得到AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）以A为坐标原点，线段AB，AC，A₁A所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出异面直线AB₁与BC₁的方向向量代入向量夹角公式，即可求出异面直线AB₁与BC₁所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求出平面ABC₁的法向量

m

，代入点到平面距离公式d=|

AB1 • m

m

|，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵平面A₁AB⊥平面ABC，平面A₁AB∩平面ABC=AB，CA⊥AB
∴CA⊥平面A₁AB
∴CA⊥A₁A…（4分）
同理 BA⊥A₁A，
又  CA∩BA=A
∴A₁A⊥平面ABC…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB，AC，A₁A两两垂直，
因此可以A为坐标原点，线段AB，AC，A₁A所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz  则                …（7分）

AB1

=（2，0，3），

BC1

=

AC1

-

AB

=（-2，2，3）…（8分）
∴cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

|AB1 |•| BC1|

=

5

221

…9分
∴异面直线异面直线AB₁与BC₁所成的角的余弦值是

5

221

  …（10分）
（Ⅲ）设平面ABC₁的法向量为

m

=（x，y，z），
则

AC1

=（0，2，3），

AB

=（2，0，0）
∴

AC1 • m =0 AB • m =0

，即

2y+3z=0 2x=0

令y=-3，则

m

=（0，-3，2）…（12分）
∴d=|

AB1 • m

m

|=

6 13

13

∴点B₁到平面ABC₁的距离是

6 13

13

 …（14分）

点评：本题考查的知识点是点到面距离的计算，线面垂直的判定，异面直线及其所成的角，其中（I）的关键是熟练掌握面面垂直、线面垂直及线线垂直之间的相互转化，（II）（III）的关键是建立适当的坐标系，利用向量法进行求解．