Question

已知a、b、c、d都是实数，且a²＋b²＝ｒ²，c²＋d²＝R²(ｒ＞0，R＞0)，求证：|ac＋bd|≤_.

Answer 1

证法一：(综合法)

∵a、b、c、d都是实数，

∴|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＝.

∵a²＋b²＝ｒ²，c²＋d²＝R²，

∴|ac＋bd|≤.

证法二：(比较法)

显然|ac＋bd|≤(ｒ²＋R²)≤ac＋bd≤(ｒ²＋R²).

先证ac＋bd≤(ｒ²＋R²).

ac＋bd－(ｒ²＋R²)＝ac＋bd－

＝－［(a－c)²＋(b－d)²］≤0.

∴ac＋bd≤(ｒ²＋R²).

再证ac＋bd≥－(ｒ²＋R²).

ac＋bd＋(ｒ²＋R²)＝ac＋bd+(a²＋b²＋c²＋d²)

＝［(a＋c)²＋(b＋d)²］≥0.

∴ac＋bd≥－(ｒ²＋R²).

综上，|ac＋bd|≤.

证法三：(分析法)

要证明|ac＋bd|≤成立，

只要证明(ac＋bd)²≤()²，

只要证明a²c²＋2abcd＋b²d²≤［(a²＋c²)²＋2(a²＋c²)(b²＋d²)＋(b²＋d²)²］.

∵a²c²≤(a²＋c²)²，2abcd≤(a²＋c²)(b²＋d²)，b²d²≤(b²＋d²)²，

∴a²c²＋2abcd＋b²d²≤［(a²＋c²)²＋2(a²＋c²)(b²＋d²)＋(b²＋d²)²］成立.

∴|ac＋bd|≤.

证法四：(三角换元法)

设a＝ｒcosθ，b＝ｒsinθ，c＝Rcosα，d＝Rsinα，α、θ∈［0，2π)，

则|ac＋bd|＝|ｒRcosθcosα＋ｒRsinθsinα|＝ｒR|cos(θ－α)|≤ｒR≤.

∴|ac＋bd|≤.