Question

已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且f（1）=-1．
（1）求实数a，b的值；
（2）已知函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，试解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的特性得f（0）=b=0，再将x=1代入，由f（1）=-1解出a=-2；
（2）根据f（x）为奇函数，得原不等式可化成f（t-1）＜f（-t），再由f（x）在区间[-1，1]上单调递减，建立关于t的不等式组，解之即可得到实数t的取值范围，从而得到答案．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，∴f（0）=b=0
又∵f（1）=

a×1+b

1+12

=

a

2

=-1，解得a=-2
综上所述，得a=-2，b=0；
（2）∵函数y=f（x）为奇函数，
∴不等式f（t-1）+f（t）＜0，即f（t-1）＜-f（t）
即f（t-1）＜f（-t）
∵f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
∴-1≤-t＜t-1≤1，解之得

1

2

＜t≤1
即原不等式的解集为{t|

1

2

＜t≤1}．

点评：本题给出奇函数满足的条件，求函数的表达式并依此解关于t的不等式，着重考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．