题目内容

已知函数f(x)=logm
1+x
1-x
(其中m＞0，m≠1)，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）具有性质：f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)；
（3）若f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1-ab
)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（1）由题意知，
1+x
1-x
＞0，∴-1＜x＜1，定义域关于原点对称，
f（-x）=
log
1-x
1+x
m
=-
log
1+x
1-x
m
=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）∵f（x）+f（y）=
log
1+x
1-x
m
+
log
1+y
1-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m
，
f（
x+y
1+xy
）=
log
1+
x+y
1+xy
1-
x+y
1+xy
m
=
log
1+xy+x+y
1+xy-x-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m
，
∴f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)．
（3）∵f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1-ab
)=2，∴f（a）+f（b）=1，
f（a）-f（b）=3，∴f（a）=2，f（b）=-1．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
（2）当a＜3时，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．
已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
（1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
（2）当x∈[
1
e
，e]时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x2）-g（x）=k的解的个数．
已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．
已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b为实数，x∈R，a∈R．
（1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．

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