Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数，a＞0且a≠1）的图象经过点（1，6），（3，24）．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）把点A（1，6），B（3，24）代入函数的解析式求出a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）由（1）知(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，设g（x）=(

1

2

)x+(

1

3

)x，利用g（x）在（-∞，1]上是减函数，能求出实数m的最大值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数，a＞0且a≠1）的图象经过点（1，6），（3，24），
∴

b•a=6 b•a3=24

，解得a=2，b=3，
∴f（x）=3•2^x．
（2）∵a=2，b=3，不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
∴(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
设g（x）=(

1

2

)x+(

1

3

)x，
则g（x）在（-∞，1]上是减函数，
∴在（-∞，1]上，g（x）_min=g（1）=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
∴mmax=

5

6

，
故实数m的最大值是

5

6

．

点评：本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．