Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，E，F分别是BC，PC的中点，FD⊥面ABCD且FD=1．
（1）证明：PA=PD；
（2）证明：AD⊥PB；
（3）求AP与面DEF所成角的正弦值；
（4）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）又D为坐标原点，建立空间坐标系，根据已知求出各点坐标，进而求出向量

PA

，

PB

的坐标，代入向量模的公式，求出两向量的模，可证得PA=PD；
（2）求出线段AD与PB的方向向量，代入向量的数量积公式，根据向量的数量积为0，两向量垂直可得AD⊥PB；
（3）设AP与面DEF所成的角为θ，求出线段AP的方向向量和平面DEF的法向量，代入向量夹角公式，可得AP与面DEF所成角的正弦值；
（4）分别求出平面PAD与平面BAD的法向量，代入向量夹角公式，根据二面角为钝二面角，可得二面角P-AD-B的余弦值

解答：解：∵ABCD是菱形且∠DAB=60°，E为BC中点，
∴AD⊥DE且DE=

3

，
又∵DF⊥面ABCD，
∴DA，DE，DF两两垂直，
以D为原点建立如图直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B(1，

3

，0)，C(-1，

3

，0)，F（0，0，1）；
∵F为PC中点，∴P(1，-

3

，2)
（1）∴PA=

(1-2)2+(- 3 )2+22

=2

2

，PD=

12+(- 3 )2+22

=2

2

，即PA=PD
（2）

DA

=(2，0，0)，

BP

=(0，-2

3

，2)∴

DA

•

BP

=0，即AD⊥BP
（3）设AP与面DEF所成的角为θ，
∵DA⊥面DEF，
∴面DEF的法向量

n

=(2，0，0)，又

AP

=(-1，-

3

，2)，
∴sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=|

-2

2•2 2

|=

2

4

∴AP与面DEF所成角的正弦值为

2

4

；
（4）∵DF⊥面ABCD，∴面ABCD的法向量

n1

=(0，0，1)，
设PAD面的法向量

n2

=(x，y，z)，
则

DA • n2 =0 AP • n2 =

，
即

2x=0 -x- 3 y+2z=0

，
取y=2，z=

3

∴

n2

=(0，2，

3

)，cos＜

n1

，

n2

＞=

3

1• 7

=

21

7

∵二面角P-AD-B为钝角，
∴二面角P-AD-B的余弦值为-

21

7

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，建立空间坐标系，将空间几何中的长度，垂直，夹角问题转化为向量的模，及向量的夹角问题是解答的关键．