Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1．
（I）求f(

π

6

)的值及f（x）的最小正周期；
（II）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求f(

π

6

)的值及f（x）的最小正周期；
（II）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（I）f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
所以f(

π

6

)=2sin（2×

π

6

+

π

6

）=2
函数的周期为：π．
（II）由x∈[0，

π

2

]可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π
所以当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，函数f（x）有最大值，最大值为2，
当2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

时，函数f（x）有最小值，最小值为：-1．

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数周期、最值的应用，考查计算能力，是中档题．