Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

+x（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若以函数y=f（x）-x（0＜x≤3）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

x2+x-a

x2

，方程x²+x-a=0的判别式△=1+4a，对△分△≤0与△＞0两类讨论即可求得函数f（x）的单调区间；
（2）k=y′|x=x0=

x0-a

x02

≤

1

2

（0＜x₀≤3）恒成立?a≥(-

1

2

x02+x0)max，由二次函数的性质可得当x₀=1时，-

1

2

x02+x0 取得最大值，问题得到解决．

解答：（1）f（x）=lnx+

a

x

+x（x＞0），f′（x）=

1

x

-

a

x2

+1=

x2+x-a

x2

…（1分）
方程x²+x-a=0的判别式△=1+4a，
当a≤-

1

4

时，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，…3分）
当-

1

4

＜a≤0时，△＞0，方程x²+x-a=0有两个根均小于等于零；
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，…（5分）
当a＞0时，，△＞0，方程x²+x-a=0有一个正根

-1+ 1+4a

2

，f（x）在（0，

-1+ 1+4a

2

）单调递减，在（

-1+ 1+4a

2

，+∞）单调递增…（7分）  
 综上当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，

-1+ 1+4a

2

）单调递减，在（

-1+ 1+4a

2

，+∞）单调递增…（8分）
（2）y′=

x-a

x2

（0＜x≤3），k=y′|x=x0=

x0-a

x02

≤

1

2

（0＜x₀≤3）恒成立?a≥(-

1

2

x02+x0)max，…（10分）
当x₀=1时，-

1

2

x02+x0 取得最大值

1

2

…（12分）
∴a≥

1

2

，
∴a_min=

1

2

．（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与化归思想的综合运用，属于难题．