题目内容

已知命题p：函数f（x）=（2a-6）^x在R上是减函数，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

解：若p为真，则f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，
∴0＜2a-6＜1，∴3＜a＜ $\text{[math]}$ ；
若q为真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，则应满足
$\text{[math]}$ ，化简得 $\text{[math]}$ ，
解得a≥2，又由题意应有p真q假或p假q真，

①若p真q假，则 $\text{[math]}$ ，无解；
②若p假q真，则 $\text{[math]}$ ，解得2≤a≤3，或a≥ $\text{[math]}$ ，
所以实数a的取值范围是：2≤a≤3，或a≥ $\text{[math]}$
分析：分别求到当命题p，q为真时对应的集合，而由题意可知：p真q假或p假q真，分别求解不等式组的解集即可．
点评：本题考查复合命题的真假，涉及指数函数的单调性和一元二次方程根的分布，属中档题．

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