Question

（2012•吉安县模拟）已知函数y=f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）≠0
（1）记an=f(n)，(n∈N*)，Sn=

n

i=1

ai，设bn=

2Sn

an

+1且{bn}为等比数列，求a1的值；
（2）在（1）的条件下，设Cn=

1

1+2an

证明：
（i）对任意的x＞0，Cn≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(2an-x)n∈N^*
（ii） C1+C2+…+Cn＞

n2

n+1

n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）根据f（x+y）=f（x）•f（y）对于任意的x∈R均成立，可得f（n+1）=f（n）•f（1），即a_n+1=a_n•a₁，从而可得{a_n}是以a₁为首项，a₁为公比的等比数列，再利用{

b

n

}成等比数列，即可求得a1=

1

3

；
（2）在（1）的条件下，an=

1

3n

，知cn=

3n

3n+2

＞0，
（i）右边=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，化简配方可得-

1

cn

(

1

1+x

-cn)2+cn，从而可得原不等式成立；
（ii）由（i）知，对任意的x＞0，有c₁+c₂+…+c_n≥

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

-nx)，取x=

1

n

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

）=

2 3 (1- 1 3n )

n(1- 1 3 )

=

1

n

(1-

1

3n

)，即可证明原不等式成立．

解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）对于任意的x∈R均成立，
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即a_n+1=a_n•a₁．（2分）
∵f（1）≠0，∴a1≠0， ∴an≠0(n∈N*)，
∴{a_n}是以a₁为首项，a₁为公比的等比数列，∴an=

a

n 1

．
当a₁=1时，a_n=1，S_n=n，此时b_n=2n+1，{b_n}不是等比数列，∴a₁≠1．
∵{

b

n

}成等比数列，
∴b₁，b₂，b₃成等比数列，即

b

2 2

=b1b3．
∵b1=

2S1

a1

+1=3，b2=

2(a1+a2)

a2

+1=

2(a1+ a 2 1 )

a 2 1

+1=

3a1+2

a1

，b3=

2(a1+ a 2 1 + a 3 1 )

a 3 1

+1=

3 a 2 1 +2a1+2

a 2 1

， ∴(

3a1+2

a1

)2=

9 a 2 1 +6a1+6

a 2 1

解得a1=

1

3

．（5分）
（2）在（1）的条件下，an=

1

3n

，知cn=

3n

3n+2

＞0，
（i） 

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

+1-1-x)
=

1

1+x

-

1

(1+x)2

[

1

cn

-(1+x)]=-

1

cn

•

1

(1+x)2

+

2

1+x

=-

1

cn

(

1

1+x

-cn)2+cn≤c_n，
∴原不等式成立．（8分）
（ii）由（i）知，对任意的x＞0，有c1+c2+…+cn≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

-x)+

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

32

-x)+…+

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

-nx)（9分）
∴取x=

1

n

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

）=

2 3 (1- 1 3n )

n(1- 1 3 )

=

1

n

(1-

1

3n

)，（11分）
则c1+c2+…+cn≥

n

1+ 1 n (1- 1 3n )

=

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

．
∴原不等式成立．（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查赋值法的运用，考查等比数列的求和公式，解题的关键是利用配方法证明不等式，属于中档题．